Pierre Fermat (1601 – 1665) là một luật sư người Pháp nhưng ham mê toán học. Khi có được trong tay bộ sách "Số học" của nhà toán học Diophatus còn sót lại sau vụ đốt cháy thư viện Alexandria ở Ai Cập năm 642, Fermat đã dành hết thời gian rảnh rỗi của mình sau giờ làm việc để tìm hiểu và giải các bài toán được nêu ra trong sách. Trong quá trình đó ông đã có những phát kiến lý thú về các con số trong toán học. Nhưng ông coi mình là nhà toán học "nghiệp dư" nên mỗi khi chứng minh được một định lý ông chỉ thông báo kết quả cho bạn bè mà thấy không cần thiết phải đưa ra lời chứng minh của mình. "Định lý cuối cùng của Fermat" là một trường hợp như vậy.

Định lý này có gốc từ định lý Pythagore: "Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông". Fermat thay đổi phương trình Pythagore và tạo ra một bài toán khó bất hủ. Ông nâng lên thành phương trình Pythagore: x² + y² = z². Phương trình này có vô số các nghiệm nguyên. Nhưng khi nâng n=3 thì Fermat đã khẳng định không thể tìm được nghiệm nguyên của phương trình. Từ đó ông phát biểu phương trình tổng quát : xⁿ + yⁿ = zⁿ  với n là số nguyên lớn hơn 2 không có nghiệm nguyên. Fermat ghi bên lề cuốn "Số học": "Tôi đã có một chứng minh thực sự tuyệt vời cho mệnh đề này, nhưng do lề quá hẹp nên không thể viết ra hết được". Sự tinh quái này của Fermat đã khiến giới toán học trên khắp thế giới mấy trăm năm qua vò đầu bứt tai tìm cách chứng minh định lý này của ông. Thực ra phải gọi nó là giả thuyết mới đúng vì trong toán học một giả thuyết chỉ được gọi là định lý khi nó đã được chứng minh.

Cho tới đầu thế kỷ 20 các nhà toán học chỉ chứng minh định lý này là đúng với n = 3, 4, 5, 7 và các bội số của nó. Nhà toán học người Đức Ernst Kummer đã chứng minh định lý này là đúng với mọi số nguyên tố tới 100 (trừ 3 số nguyên tố phi chính quy là 37, 59, 67).

Nhà toán học vĩ đại người Thụy Sĩ Leonhard Euler (1707 – 1783) đã chứng minh định lý cho trường hợp n = 3 và n = 4.

Năm 1828, Dirichlet chứng minh cho trường hợp n = 5.

Vào những năm 1840, Gabriel Lamé chứng minh với n = 7.

200 năm sau Fermat, định lí mới được chứng minh với n = 3, 4, 5, 6 và 7.

Định lý quá khó và Bell trong cuốn sách "Bài toán cuối cùng" đã phải viết rằng: Có lẽ nền văn minh của chúng ta sẽ cáo chung trước khi các nhà toán học tìm ra lời giải cho bài toán.

Tuy vậy, năm 1908, định lý Fermat đột ngột gây được sự chú ý trở lại nhờ công của một nhà công nghiệp và tiến sĩ toán người Đức tên là Paul Wolfskehl. Do gặp phải một chuyện bất hạnh trong đời sống riêng, ông quyết định sẽ tự sát vào lúc nửa đêm. Trong khi chờ đợi, ông tình cờ đọc một chứng minh của Kummer liên quan đến định lí Fermat. Chìm đắm trong sự suy tư, ông vượt qua giờ phút định mệnh lúc nào không biết. Sự đam mê toán học đã hồi sinh cuộc đời ông. Ông quyết định dành gần hết gia sản của mình lập nên giải thưởng Wolfshehl dành tặng cho người nào tìm ra lời giải của định lý Fermat. Trị giá giải thưởng là 100.000 mác tương đương 1,75 triệu USD, lớn hơn giải Nobel.

Khi giải thưởng được thông báo, các bài dự thi ùn ùn đổ về Đại học Gottingen. Ngay trong năm treo giải, có 621 "lời giải" được đệ trình và mấy năm sau thì số thư từ chất cao đến 3m. Tất cả đều sai.

Trong lịch sử công cuộc tìm lời giải cho "Định lý cuối cùng của Fermat" có người phải tự tử và có những người tự lừa chính mình. Cuối cùng sau gần bốn thế kỷ, nhà toán học người Anh, Andrew Wiles đã công bố lời giải độc nhất vô nhị vào mùa hè năm 1993 và bản chỉnh sửa cuối cùng (với sự giúp sức của Richard Taylor) vào năm 1995, với lời giải dài 200 trang.

Helen G. Grundman, giáo sư toán trường Bryn Mawr College đánh giá tình hình của cách chứng minh đó như sau: "Tôi nghĩ là ta có thể nói, vâng, các nhà toán học hiện nay đã bằng lòng với cách chứng minh Định lý lớn Fermat đó. Tuy nhiên, một số sẽ cho là chứng minh đó của một mình Wiles mà thôi. Thật ra chứng minh đó là công trình của nhiều người. Wiles đã có đóng góp đáng kể và là người kết hợp các công trình lại với nhau thành cái mà ông đã nghĩ là một cách chứng minh. Mặc dù cố gắng khởi đầu của ông được phát hiện sau đó là có sai lầm, Wiles và người phụ tá Richard Taylor đã sửa lại được, và nay đó là cái mà ta tin là cách chứng minh đúng Định lý lớn Fermat. Chứng minh mà ta biết hiện nay đòi hỏi sự phát triển của cả một lãnh vực toán học chưa được biết tới vào thời Fermat. Bản thân định lý được phát biểu rất dễ dàng và vì vậy xem ra có vẻ đơn giản một cách giả tạo; bạn không cần biết rất nhiều về toán để hiểu bài toán. Tuy nhiên, để rồi nhận ra rằng, theo kiến thức tốt nhất của bạn, cần phải biết rất nhiều về toán mới có thể giải được nó. Vẫn là một câu hỏi chưa có lời đáp rằng liệu có hay không một cách chứng minh Định lý lớn Fermat mà chỉ liên quan tới toán học và các phương pháp đã có vào thời Fermat. Chúng ta không có cách nào trả lời trừ phi ai đó tìm ra một chứng minh như vậy."

Cuốn sách của Simon Singh kể lại hành trình đi tìm lời giải cho bài toán khó bậc nhất trong lịch sử toán học. Tác giả đã kể lại con đường toán học đã đi qua từ thời cổ đại Pythagore tới cuối thế kỷ hai mươi với bao khuôn mặt lẫy lừng của các nhà toán học cùng những phát kiến toán học của họ. Đọc sách ta sẽ thấy toán học thực sự hấp dẫn. Nó kích thích trí tò mò hiểu biết của ta. Bản dịch cuốn sách của hai dịch giả là nhà vật lý Phạm Văn Thiều và nhà toán học Phạm Việt Hưng vừa bảo đảm sự chính xác của các tri thức toán học vừa rõ ràng, mạch lạc càng khiến người đọc thích thú.

Hẹn bạn lần tới với những cuốn sách mới khác!

Hà Nội 15/7/2022

×